Что такое кратчайший путь и почему это важно на ЕГЭ
Кратчайший путь встречается в графах и на реальных дорогах. На экзамене тема тоже бывает. Задачи 11 и 17 часто опираются на неё. Школьник должен быстро искать минимальную стоимость. Именно здесь помогает алгоритм Дейкстры. Он решает задачу для графа с неотрицательными рёбрами. Решение строится шаг за шагом. В ответе требуется чёткий маршрут и длина. Ошибки в одном ребре портят всё. Потому важно отработать метод заранее. К тому же время на экзамене ограничено. Чем меньше ручных вычислений, тем спокойнее выпускник. Дейкстра сокращает количество проверок. Алгоритм хорош и для олимпиад. Но наш прицел — высокий балл на ЕГЭ. Понимание принципа экономит минуты. Это прямой вклад в итоговый результат.
История и идея алгоритма Дейкстры
Эдсгер Дейкстра придумал метод в 1956 году. Учёный искал решение для телефонных сетей. Главное наблюдение было простым. Если ребро неотрицательно, найденный минимальный путь больше не улучшается. Выбираем ближайшую вершину и фиксируем её. Дальше обновляем соседей. Так расстояния лишь уменьшаются. После обхода всех вершин получаем таблицу ответов. В основе лежит жадный выбор. Он локально оптимален и ведёт к глобальному решению. Никаких циклов с отрицательной суммой не допускается. Поэтому алгоритм не подходит для задач с долгами. Но для школьных примеров хватает. Алгоритм популярен в сетевых протоколах. Он же используется навигаторами. Так теория помогает реальному миру. Зная историю, легче запоминать шаги. Метод вдохновляет краткой логикой. Всё сводится к очереди приоритетов и аккуратной таблице.
Пошаговый разбор алгоритма
Рассмотрим типичные действия.
- Создаём массив расстояний. Вначале он заполнен бесконечностями.
- Для стартовой вершины расстояние равно нулю.
- Заводим множество непосещённых вершин.
- Пока множество не пусто, выбираем вершину с минимальным расстоянием.
- Фиксируем её как обработанную.
- Просматриваем всех соседей. Для каждого считаем новую длину.
- Если длина меньше текущего значения, обновляем ячейку и записываем предка.
- Повторяем цикл до полного обхода.
Так выглядит канон. На бумаге часто строят таблицу. В первой колонке пишут вершины. Рядом хранят расстояния и предыдущие узлы. При выборе минимального значения ставят галочку. Дальше пересчитывают строки соседей. Таблица растёт вниз лишь на один шаг. Отдельный столбец фиксирует состояние после итерации. Такой формат удобен для проверки. Экзаменатор видит ход мысли. Он легко находит возможную ошибку. Код в Питоне занимает десять строк. Но на бланке важна ясная схема. Лучше тренироваться до автоматизма. Тогда рука сама ставит метки.
Пример решения задачи из демоверсии
Возьмём ориентированный граф из шести вершин. Рёбра имеют веса 2, 4, 5, 3 и 6. Начнём в вершине A. Таблица стартует с расстояния 0 для A. Остальные получат знак ∞. Минимум равен 0, значит фиксируем A. Соседи B и C получают значения 2 и 4. Дальше смотрим вершину B, так как 2 меньше 4. Через B путь к D равен 7. Это меньше бесконечности, поэтому пишем 7. Минимальная непосещённая вершина теперь C с весом 4. Из неё в D идёт путь длиной 6. Это меньше 7, значит обновляем. Следующая вершина D уже фиксируется с весом 6. Через неё путь до E оценивается в 9. Проверяем и фиксируем. Осталась F. После расчётов длина до F равна 11. Таблица закончена. Ответ: кратчайший путь A-C-D-E-F, длина 11. В бланк записываем число и порядок вершин. Решение заняло пять минут. Без алгоритма пришлось бы перебирать варианты дольше.
Сложность и оптимизация
Базовая реализация работает за O(V²). Она подходит для графов до 200 вершин. Этого достаточно для ЕГЭ. Если нужно быстрее, применяют кучу. Тогда сложность падает до O((V+E) log V). В олимпиадах используют бинарную и Фибоначчиеву кучу. На экзамене пишут упрощённый код. Там размер графа не критичен. Главное — отсутствие ошибок. Важно помнить принципы оптимизации. Не храните матрицу, если ребёр мало. Список смежности экономит память. Для плотных графов матрица удобнее. Выбор структуры зависит от условия. Но идея алгоритма остаётся прежней. База не меняется со временем. Это радует учеников и учителей. Один выученный метод решает широкий класс задач.
Частые ошибки выпускников
Список ошибок поможет избежать потерь баллов.
- Стартовая вершина получает неверное расстояние. Помните: оно равно нулю.
- Студент забывает обновить таблицу после каждого ребра.
- Путают фиксированную и непосещённую вершину. Ставьте яркий знак.
- Записывают путь, но не выводят длину. Балл за задачу снижается.
- Используют отрицательные веса. Алгоритм тогда даёт неверный результат.
- Стирают старые значения без проверки. Всегда сравнивайте новую длину с текущей.
- Не указывают предка. Без него восстановить маршрут сложно.
- Пишут длинные формулы и теряются. Делайте покороче шаги.
Пройдитесь по списку перед контрольной. Исправление ошибок поднимет уверенность. Опыт показывает: системный подход даёт плюс два балла. Это легко получить при аккуратности.
Тренировочные задания и полезные ресурсы
Лучший способ закрепить материал — решать задачи. Начните с открытого банка ФИПИ. Там публикуют актуальные примеры. Возьмите все задания на кратчайший путь. Решите вручную и проверьте ответ. Дальше переходите к системам тестирования. Подойдут E-olymp, Timus и Acmp. На сайтах фильтры позволяют оставить только графы. Устанавливайте лимит по времени. Так вы имитируете экзамен. Не забывайте о теории. Читайте раздел «Графы» в книге Шень «Дискретная математика». Лёгкий стиль упрощает восприятие. Видео тоже полезны. На YouTube много разборов. Но смотрите активно. Останавливайте, прогнозируйте следующие шаги. Один раз в неделю решайте большую подборку. Закрепление успокоит нервы. Не откладывайте на последний месяц. Регулярность важнее объёма. При необходимости подключайте онлайн курс подготовки к ЕГЭ. Это экономит время и улучшает результат.
Экспресс-памятка перед экзаменом
Составьте короткий чек-лист.
- Проверьте, что граф не содержит отрицательных рёбер.
- Обозначьте стартовую вершину и запишите ноль.
- Создайте таблицу расстояний и предков.
- На каждой итерации выбирайте наименьшее расстояние среди непосещённых.
- Обновляйте соседей только после выбора вершины.
- Ставьте отметку о фиксации, чтобы не вернуться к ней.
- По окончании восстановите путь, идя по предкам.
- Запишите итоговую длину и маршрут в бланк.
Перед сдачей просмотрите чек-лист два раза. Это займёт минуту, но избавит от глупых промахов. Уверенность держится на мелочах. Пишите аккуратно, точно следуя шагам. Тогда алгоритм Дейкстры обязательно принесёт высокий балл.