Почему кривые интересуют школьника
В демоверсии 2024 года упоминаются векторы и графика. Потому тема кривых Безье кажется логичным продолжением. Ученики часто спрашивают: зачем дизайнерская математика в ЕГЭ? Ответ прост. Кривые позволяют показать связь алгебры, геометрии и алгоритмов. Эта связка помогает видеть задачи шире. К тому же экзамен любит объекты, где важны координаты и шаги вычислений. Безье даёт отличный пример.
На уроках информатики учителя демонстрируют, как одна формула рождает плавные линии. Школьники сразу видят результат на экране. Такой визуальный эффект мотивирует разбираться глубже. А ещё кривые тренируют работу с вещественными числами, округлением и точностью. Всё это часто встречается в задании 25 или 26.
Кто придумал кривые и зачем
Имя Пьера Безье узнают будущие инженеры. В шестидесятых годы он работал во французской фирме Renault. Задача была прагматична: рисовать кузов машины на компьютере. Нужны были плавные линии, легко редактируемые контрольными точками. Так родилась кривая, называемая по фамилии создателя.
Независимо похожий метод разработал Поль де Кастельжо. Он был сотрудником Citroën. Поэтому в академических книгах иногда используют двойное название. Для ЕГЭ достаточно помнить: кривая задаётся контрольными точками, а сама формула выводится из линейной интерполяции.
Линейная интерполяция как кирпич
Вспомним знакомую идею: между двумя точками P0 и P1 выбираем точку P(t) = (1 − t)·P0 + t·P1. Переменная t меняется от 0 до 1. При t = 0 получаем P0, при t = 1 получаем P1. Это уравнение школьник знает ещё с 7 класса, когда строил отрезок делённый в заданном отношении.
Для Безье эта формула является базовой. Дальше мы применяем её рекурсивно. Именно поэтому график получается плавным. Важно, что вычисления просты: всего сложения и умножения на дробь. Потому кривая легко входит в программирование на Python, PascalABC или C++. Все эти языки разрешены на экзамене.
Кривая второго порядка шаг за шагом
Возьмём три точки: P0, P1, P2. Сначала строим промежуточные Q0(t) и Q1(t) между парами (P0, P1) и (P1, P2). Затем снова применяем формулу между Q0(t) и Q1(t). Получаем B(t). Именно B(t) — кривая Безье второй степени.
- t меняется с шагом, например 0.1
- Каждое новое значение даёт новую координату
- Соединив координаты, видим плавную дугу
Удобно переписать формулу в развернутый вид: B(t) = (1 − t)2P0 + 2t(1 − t)P1 + t2P2. Она похожа на биномиальные коэффициенты. Школьник сразу вспоминает треугольник Паскаля. Это укрепляет межпредметные связи.
Где именно встречаются кривые в заданиях
Официальный кодификатор не упоминает Безье напрямую. Но кривые появляются как часть моделирования. Пример: нужно вычислить координаты объекта, движущегося по пути, описанному параметрами. Такое могут спросить в профиле информатики на олимпиадах и в сложных вариантах. Если ученику попадётся файл с точками, знание формул ускорит код.
Также задачи на покадровую анимацию иногда требуют посчитать положение курсора. Алгоритм строится точно так же, как для Безье. Поэтому, разобрав тему, выпускник получает задел сразу на несколько возможных направлений.
Алгоритм Де Кастельжоу своими руками
Когда точек больше трёх, удобно использовать рекурсивный подход. Алгоритм Де Кастельжоу берёт массив контрольных точек и параметр t. Пока точек больше одной, выполняем:
- Создаём новый массив
- Для каждой пары подряд применяем линейную интерполяцию
- Получаем массив короче на одну точку
Когда останется одна точка, это и есть координата B(t). Алгоритм устойчив к ошибкам округления. Он работает за O(n2) операций, где n — число контрольных точек. В условии ЕГЭ обычно n маленькое, так что время приемлемо даже на старых компьютерах в аудитории.
Ученики любят писать код именно так. Лаконичный Python-вариант занимает пять-шесть строк. Главное — не забыть приводить числа к float, чтобы деление не работало по целым.
Как учить тему без скуки
Сначала рисуйте руками в тетради. Поставьте точки, соедините линейкой, а затем отметьте середины. Повторите шаг и увидите дугу. Такой визуальный процесс лучше любого длинного доказательства.
После ручного этапа переходите к коду. Нарисуйте ту же кривую в графической библиотеке Pillow или в модуле turtle. Ученики радуются, когда черепашка выводит плавную линию.
Далее решайте маленькие тесты. Пример: найти B(0.25) для заданных координат. Ответ можно получить и без компьютера, просто подставив в формулу. Чем больше таких примеров, тем выше скорость счёта.
Если нужна системная поддержка, попробуйте курс «Подготовка к ЕГЭ по информатике» от онлайн школы el-ed.ru. Лекции разбирают координатную геометрию, а кривые Безье входят в расширенный модуль.
Типовое задание с пояснениями
Условие: даны P0 (0; 0), P1 (4; 6), P2 (8; 0). Требуется вычислить координаты точки кривой Безье при t = 0.75. Решение:
- Сначала найдём (1 − t) = 0.25.
- Вычислим коэффициенты: (1 − t)2 = 0.0625, 2t(1 − t) = 0.375, t2 = 0.5625.
- Координата x: 0.0625·0 + 0.375·4 + 0.5625·8 = 6.5.
- Координата y: 0.0625·0 + 0.375·6 + 0.5625·0 = 2.25.
Ответ: (6.5; 2.25). Проверить можно программой или графически. Зная метод, ученик получает полный балл за три-четыре строки решения. Главное — соблюдать точность до сотых, как требует критерий.
Выводы и планы на повторение
Кривые Безье объединяют алгебру, геометрию и программирование. Они учат работать с параметрами и дробями. Эта тема не обязана каждому выпускнику, но даёт конкурентное преимущество. Освоив формулу и алгоритм, легко решать задачи на трекинг объектов, а также выводить красивые графики в собственных проектах. Тренируйтесь на разных t и наборов точек. Тогда на ЕГЭ вы не растеряетесь, даже если увидите новое формулировку.