Почему системы счисления решают судьбу баллов
Каждый год аналитики ФИПИ публикуют статистику ошибок. Самый частый промах — перевод чисел. Звучит просто, но напряжение аудитории мешает. Ученик берёт калькулятор, теряет время, путает порядок разрядов. И падает сразу несколько баллов. Освоив пару приёмов, можно снять этот риск и высвободить лишние минуты для сложных заданий.
Системы счисления встречаются минимум в трёх номерах ЕГЭ. Это задание 2 на кодирование, задание 8 на логические схемы и задание 14 или 15 в профиле. Суммарно это до 11 первичных баллов. Простое умение делить на основание и складывать степени даёт почти десятую часть максимума. Поэтому не игнорируйте тему. Потратьте вечер, и ваша итоговая шкала поднимется ощутимо.
Минимальный набор терминов без лишней теории
Основание системы — число разных цифр. Разряд — позиция цифры. Младший разряд имеет вес один, следующий — основание в первой степени, далее — во второй и так далее. Переполнение — ситуация, когда цифры в разряде превышают основание. Тогда происходит перенос. Всё. Для экзамена чаще ничего не нужно.
Что ещё держать в голове:
- Двоичная система: цифры 0 и 1, основание 2.
- Восьмеричная: цифры 0-7, основание 8.
- Шестнадцатеричная: цифры 0-9 и A-F, основание 16.
- Десятичная: привычные 0-9, основание 10.
В ответах иногда требуют буквы верхнего регистра. Проверьте методичку вашего региона. Ошибка регистра может стоить балл.
Быстрый переход из десятичной в двоичную без калькулятора
Классический способ — деление на два с записью остатков. Но листок в кабинете тесный, а столбик путается. Вместо вертикали используйте «лестницу»:
- Пишете число слева.
- Делите на 2, результат пишете справа.
- Остаток заносите над стрелкой.
- Продолжаете, пока результат не станет нулём.
Дальше считываете остатки снизу вверх. Метод экономит строки и время. Для проверки просуммируйте степени двойки, равные позициям единиц. Если сумма совпала с исходным числом — ответ верный.
Пример. Число 45. Деления: 45→22 (1), 22→11 (0), 11→5 (1), 5→2 (1), 2→1 (0), 1→0 (1). Читаем остатки снизу: 101101. То есть 4510=1011012. Проверяем: 32+8+4+1=45.
Приём «степенной каркас» для любого основания
Иногда удобнее разложить число на степени основания, а не делить. Работает одинаково для 3, 5, 7, 9 и 16. Алгоритм:
- Составьте таблицу степеней до нужного промежутка.
- Выберите самую большую степень, не превышающую число.
- Вычтите её, поставьте коэффициент в соответствующий разряд.
- Повторяйте, пока остаток не станет нулём.
Для 2023 года популярное число 255 разбирают часто. Степени шестнадцати: 1, 16, 256. 256 уже больше, берём 16²? Нет. Остаётся 15*16 + 15*1. Значит 25510=FF16. Метод хорош тем, что тренирует мышление степенями, полезно для логарифмов и показательных уравнений в профильной математике.
Шестнадцатеричная система и цвета: ассоциации, которые работают
Запомнить пары двоичных четырёхбитных блоков и hex-цифр проще через HTML-цвета. У разработчиков белый цвет — #FFFFFF, чёрный — #000000, чистый красный — #FF0000. Два одинаковых символа образуют один байт. Значит:
- 0016=000000002
- FF16=111111112
- 8016=100000002
Представьте ползунки RGB как три байта. Тогда «A0» — средний уровень яркости, «0F» — слабый, «F0» — почти максимум. Числа начинают ощущаться визуально. На экзамене такое образное мышление резко сокращает время счёта.
Смешанные задачи: перевод и арифметика в одном флаконе
Частый формат: дано выражение в одной системе, посчитать значение, затем перевести. Рекомендуется:
- Сначала перевести операнды в десятичную.
- Выполнить нужные действия.
- Вернуться к требуемому основанию.
Пример. Сложите 3A16 и 10112, результат в восьмеричной. Расклад: 3A16=5810, 10112=1110. Сумма 69. Делим на 8: 69÷8=8, остаток 5; 8÷8=1, остаток 0; 1÷8=0, остаток 1. Считаем снизу: 1058. Две минуты — и готово.
Если времени мало, действуйте иначе: доведите всё до одинакового основания, чаще всего до 2, чтобы использовать побитовые приёмы. Но избегайте длинных цепочек переносов — легко ошибиться.
Типичные ловушки и способы защиты
1. Пропущенные нули в старших позициях. Пишите ведущий ноль для каждого выделенного байта.
2. Переменная основа. В условии могут сказать, что цифра X обозначает число 3310. Найдите основание. Тогда X означает максимальную цифру, то есть основание минус один.
3. Пунктуация. Запятые и пробелы иногда маскируют разряды. Проверяйте оригинал задания внимательно.
4. Ограничение времени. Не зависайте на длинных делениях. Если остаток стал циклическим, сразу переходите к степенному методу.
Умейте успокаиваться. Две-три ошибки чаще связаны с нервами, а не знанием. Сделайте вдох, прочитайте условие ещё раз, убедитесь, что понимаете вопрос.
Чек-лист подготовки за неделю до экзамена
За семь дней можно закрепить навык на автомат. План простой:
- День 1. Повторите теорию, решите 20 переводов.
- День 2. Добавьте смешанные задачи с арифметикой.
- День 3. Решите один полный вариант ЕГЭ, отметьте слабые места.
- День 4. Закройте пробелы, выучите пары двоичных блоков и hex-цифр.
- День 5. Ещё один вариант на время.
- День 6. Разберите ошибки, перепишите алгоритмы на шпаргалку-памятку.
- День 7. Лёгкая практика и отдых, чтобы мозг не перегрелся.
Если нужен структурированный маршрут, взгляните на наш курс подготовки к ЕГЭ. В нём короткие видео, интерактив и проверка домашних работ.
Системы счисления — не страшнее таблицы умножения. Практика, правильные лайфхаки и спокойствие в аудитории дадут вам заветные баллы. Удачи на экзамене!