Зачем на ЕГЭ нужен перевод из двоичной
Фокусная тема «перевод из двоичной» появляется едва ли не в половине заданий первой части. Уже в первом номере проверяют умение быстро считывать значение битовой записи, а в номерах 11–14 встречаются смеси систем, логических операций и степеней двойки. Поэтому навык конвертации чисел определяет уверенность на старте решения и экономит драгоценные минуты. Понимание принципа помогает не только в арифметике. Оно нужно при подсчёте информационного объёма, анализе таблиц истинности и работе со строками в задании 17. Чем чётче алгоритм в голове, тем меньше шансов ошибиться на пустом месте.
О степени двойки и праве последнего бита
В любой системе счисления основа лежит в позиционности. Каждая цифра показывает, сколько раз берётся очередная степень основания. В двоичной цифра может быть только нулём или единицей, то есть выбор прост. Правый бит отвечает за 20, следующий — за 21 и так далее. Запись 10012 читается как 1·8 + 0·4 + 0·2 + 1·1 = 9. Если научиться «видеть» степени, то длинные цепочки перестают пугать. Часто помогает наблюдение: сумма битов в чётных позициях определяет чётность числа. Это сразу режет половину ответов в тесте и ускоряет проверку.
Перевод из двоичной: алгоритм и лайфхаки
Алгоритм прямой конвертации прост:
- Записываем степени двойки сверху над записью числа.
- Выделяем позиции с единицами.
- Суммируем выбранные степени.
Однако на экзамене ценна не теория, а скорость. Полезный лайфхак — группировать биты по четыре. Блок 0101 мгновенно даёт 5, поскольку 01012 = 516. Четыре бита соответствуют одной шестнадцатеричной цифре, а две таких цифры образуют байт. Поэтому, когда число длиннее восьми знаков, лучше сразу переводить парами полубайт — риск потери степени исчезает. Ещё один приём: хранить в памяти таблицу степеней до 216. Тогда выражение 1 0000 00012 за секунду превращается в 257, ведь 28 = 256.
Обратный путь: десятичная запись → двоичная
Если дано десятичное число, действуем делением на два с фиксацией остатка. Остатки читаем снизу вверх. Например, 45: 45/2 = 22 (1), 22/2 = 11 (0), 11/2 = 5 (1), 5/2 = 2 (1), 2/2 = 1 (0), 1/2 = 0 (1). Получаем 1011012. Чтобы не тащить громоздкую таблицу, ищем ближайшую степень двойки. 32 — это 25. Разница 13 раскладывается как 8 + 4 + 1. Комбинируем позиции: 32→1, 16→0, 8→1, 4→1, 2→0, 1→1. Такой инкрементальный метод работает быстрее классического деления, если число меньше тысячи.
Троичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы
ЕГЭ любит разнообразие. В вариантах 2023 года восьмеричная встречается в заданиях на кодировку графов, а шестнадцатеричная — в анализе фрагментов программ на Python. Правило остаётся тем же: позиционность и степени основания. Чтобы перевести 7C16 в десятичную, считаем: 7·16 + 12 = 124. Для обратного перехода удобно разбивать двоичное число по три или четыре бита. Запись 110 1112 превращается в 6 78. Эта симметрия экономит время и минимизирует арифметические ошибки. При встрече троичной системы помним: цифры ограничены 0, 1, 2, а степенные коэффициенты быстро растут. Число 1023 равно 1·9 + 0·3 + 2 = 11.
Битовое мышление и логические операции
После освоения систем счисления важно увидеть их связь с логикой. Операции И, ИЛИ, XOR действуют над битами так же, как над булевыми значениями. Зная двоичную форму, легко решать номер 15: «Сколько чисел удовлетворяют условию (x & A = 0) ∧ (x | B = C)?». Сначала переводим A, B, C в двоичную форму одинаковой длины, затем посимвольно проверяем возможные значения x. Часто обнаруживается, что некоторые позиции фиксированы, а остальные свободны. Количество решений равно 2k, где k — число свободных битов. Всё строится вокруг умения быстро видеть биты.
Информационный объём и кодировки
Задача 8 спрашивает: «Файл занимает 96 Кбайт. Сколько символов в алфавите при средней длине 4 бит?». Тут снова всплывает позиционность. Один символ требует log2(m) бит, где m — мощность алфавита. Если известна длина сообщения и объём файла, то m = 2V/L. В примере V = 96·1024·8, L = 4·N, где N — количество символов. Решение упирается в деление на 4 и перевод в степень двойки. Таким образом, знание степеней избавляет от громоздкого калькулятора. При добавлении контрольных битов полезно помнить: каждый байт расширяется до 9 бит при простейшем вертикальном паритете. Разница размеров выдаёт число контрольных разрядов напрямую.
План тренировки и полезные ресурсы
Теорию нельзя закрепить без регулярной практики. Выберите один день для повторения алгоритма, второй — для решения минимум десяти задач из открытого банка FIPI. Составьте таблицу ошибок: вид системы, тип операции, источник сбоя. Через неделю возвращайтесь к проблемным местам. Помогает метод «микросессий»: 15 минут учимся, 5 минут отдыхаем. Так концентрация держится дольше. Если нужна структурированная программа и наставник, попробуйте курс подготовки к ЕГЭ в онлайн-школе: живые вебинары, домашки с авто-проверкой и чат с куратором.
Итоговые советы за день до экзамена
Накануне не решайте сотню заданий. Достаньте лист со степенями двойки, пролистайте ошибки и сделайте пять разноплановых номеров: перевод, логические маски, объём данных, шестнадцатеричная арифметика, деление на два. Сконцентрируйтесь на алгоритме, а не на числе. Помните: любой перевод сводится к сумме степеней. Если цепочка кажется бесконечной, разбейте её по четыре бита и сравните с таблицей от 0 до F. На экзамене храните черновик аккуратно: палочки для деления и обведённые суммы заметно сокращают повторную проверку. Спите не меньше семи часов, чтобы мозг уверенно доставал нужные степени без напряжения.